פתור את 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-40. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -11.

$$a=-16 b=5$$

שכתב את ‎2x^{2}-11x-40 כ- ‎\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-8=0 ו- 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -11 במקום b, וב- -40 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

‎-11 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-11 הוא ‎11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±21}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎11 ל- ‎21.

$$x=\frac{32}{4}$$

חלק את ‎32 ב- ‎4.

$$x=8$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±21}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎21 מ- ‎11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

הוסף ‎40 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

החסרת -40 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

החסר ‎-40 מ- ‎0.

$$2x^{2}-11x=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

חלק את ‎40 ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

חלק את ‎-\frac{11}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{11}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{11}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{11}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

הוסף את ‎20 ל- ‎\frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

הוסף ‎\frac{11}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$