פתור את 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎30 משני האגפים.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

החסר את 30 מ- -6 כדי לקבל -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-36. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-8 b=9$$

שכתב את ‎2x^{2}+x-36 כ- ‎\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-4=0 ו- 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+x-6=30$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

החסרת 30 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

החסר ‎30 מ- ‎-6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- -36 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎17.

$$x=\frac{16}{4}$$

חלק את ‎16 ב- ‎4.

$$x=4$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎-1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

החסרת -6 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

החסר ‎-6 מ- ‎30.

$$2x^{2}+x=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

חלק את ‎36 ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

חלק את ‎\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

הוסף את ‎18 ל- ‎\frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

החסר ‎\frac{1}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$