פתור את 2x^2+9x-5

$$2 { x }^{ 2 } +9x-5$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-1\right)\left(x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=9 ab=2\left(-5\right)=-10$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -10.

$$-1,10 -2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 9.

$$a=-1 b=10$$

שכתב את ‎2x^{2}+9x-5 כ- ‎\left(2x^{2}-x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(10x-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-1\right)\left(x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+9x-5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

‎9 בריבוע.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎40.

$$x=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-9±11}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-9±11}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎11.

$$x=\frac{2}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-9.

$$x=-\frac{20}{4}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎4.

$$x=-5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום x_{1} וב- ‎-5 במקום x_{2}.

$$2x^{2}+9x-5=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}+9x-5=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+5\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}+9x-5=2\times \frac{2x-1}{2}\left(x+5\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}+9x-5=\left(2x-1\right)\left(x+5\right)$$

הערך

$$\left(2x-1\right)\left(x+5\right)$$