פתור את 2x^2+7x-15

$$2 { x }^{ 2 } +7x-15$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-3 b=10$$

שכתב את ‎2x^{2}+7x-15 כ- ‎\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎13.

$$x=\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎4.

$$x=-5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎-5 במקום x_{2}.

$$2x^{2}+7x-15=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}+7x-15=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+5\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}+7x-15=2\times \frac{2x-3}{2}\left(x+5\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}+7x-15=\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

הערך

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$