פתור את 2x^2+5x-3geq0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-3 \geq 0$$

פתור עבור x

$$x\in (-\infty,-3]\cup [\frac{1}{2},\infty)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎5 ב- b ואת ‎-3 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-5±7}{4}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-5±7}{4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{1}{2} x=-3$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+3\right)\geq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≥0‏, ‎x-\frac{1}{2} ו- ‎x+3 חייבים שניהם להיות ≤0 או ≥0. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{1}{2} ו- ‎x+3 שניהם ≤0.

$$x-\frac{1}{2}\leq 0 x+3\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\leq -3.

$$x\leq -3$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{1}{2} ו- ‎x+3 שניהם ≥0.

$$x+3\geq 0 x-\frac{1}{2}\geq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\geq \frac{1}{2}.

$$x\geq \frac{1}{2}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\leq -3\text{; }x\geq \frac{1}{2}$$