פתור את 2x^2+3x-14=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x-14=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-14. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$a=-4 b=7$$

שכתב את ‎2x^{2}+3x-14 כ- ‎\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(2x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-2=0 ו- 2x+7=0.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- -14 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-3±11}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎11.

$$x=\frac{8}{4}$$

חלק את ‎8 ב- ‎4.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-3.

$$x=-\frac{14}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

הוסף ‎14 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

החסרת -14 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-14\right)$$

החסר ‎-14 מ- ‎0.

$$2x^{2}+3x=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{14}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

חלק את ‎14 ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=7$$

חלק את ‎\frac{3}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

הוסף את ‎7 ל- ‎\frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

פרק x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

החסר ‎\frac{3}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$