פתור את 2x^2+3x+1>0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+1 > 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+3x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎3 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-3±1}{4}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-3±1}{4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\frac{1}{2} x=-1$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)>0$$

כדי שהמכפלה תהיה חיובית, ‎x+\frac{1}{2} ו- ‎x+1 חייבים שניהם להיות שליליים או חיוביים. שקול את המקרה כאשר ‎x+\frac{1}{2} ו- ‎x+1 שניהם שליליים.

$$x+\frac{1}{2}<0 x+1<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x<-1.

$$x<-1$$

שקול את המקרה כאשר ‎x+\frac{1}{2} ו- ‎x+1 שניהם חיוביים.

$$x+1>0 x+\frac{1}{2}>0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x>-\frac{1}{2}.

$$x>-\frac{1}{2}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x<-1\text{; }x>-\frac{1}{2}$$