פתור את 19x^2+32x+4=0

$$19 x ^ { 2 } + 32 x + 4 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{6\sqrt{5}-16}{19}\approx -0.135978533$$

$$x=\frac{-6\sqrt{5}-16}{19}\approx -1.548231993$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$19x^{2}+32x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 19 במקום a, ב- 32 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 19\times 4}}{2\times 19}$$

‎32 בריבוע.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 19\times 4}}{2\times 19}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎19.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-76\times 4}}{2\times 19}$$

הכפל את ‎-76 ב- ‎4.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-304}}{2\times 19}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎-304.

$$x=\frac{-32±\sqrt{720}}{2\times 19}$$

הוצא את השורש הריבועי של 720.

$$x=\frac{-32±12\sqrt{5}}{2\times 19}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎19.

$$x=\frac{-32±12\sqrt{5}}{38}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-32±12\sqrt{5}}{38} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-32 ל- ‎12\sqrt{5}.

$$x=\frac{12\sqrt{5}-32}{38}$$

חלק את ‎-32+12\sqrt{5} ב- ‎38.

$$x=\frac{6\sqrt{5}-16}{19}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-32±12\sqrt{5}}{38} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12\sqrt{5} מ- ‎-32.

$$x=\frac{-12\sqrt{5}-32}{38}$$

חלק את ‎-32-12\sqrt{5} ב- ‎38.

$$x=\frac{-6\sqrt{5}-16}{19}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{6\sqrt{5}-16}{19} x=\frac{-6\sqrt{5}-16}{19}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$19x^{2}+32x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$19x^{2}+32x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$19x^{2}+32x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$\frac{19x^{2}+32x}{19}=-\frac{4}{19}$$

חילוק ב- ‎19 מבטל את ההכפלה ב- ‎19.

$$x^{2}+\frac{32}{19}x=-\frac{4}{19}$$

חלק את ‎\frac{32}{19}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{16}{19}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{16}{19} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{32}{19}x+\left(\frac{16}{19}\right)^{2}=-\frac{4}{19}+\left(\frac{16}{19}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{16}{19} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{32}{19}x+\frac{256}{361}=-\frac{4}{19}+\frac{256}{361}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{19} ל- ‎\frac{256}{361} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{32}{19}x+\frac{256}{361}=\frac{180}{361}$$

פרק x^{2}+\frac{32}{19}x+\frac{256}{361} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{16}{19}\right)^{2}=\frac{180}{361}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{19}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{180}{361}}$$

פשט.

$$x+\frac{16}{19}=\frac{6\sqrt{5}}{19} x+\frac{16}{19}=-\frac{6\sqrt{5}}{19}$$

החסר ‎\frac{16}{19} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{6\sqrt{5}-16}{19} x=\frac{-6\sqrt{5}-16}{19}$$