פתור את 180x-360=98x+2x^2

$$180x-360=98x+2 { x }^{ 2 }$$

פתור עבור x

$$x=5$$

$$x=36$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎98x משני האגפים.

$$180x-360-98x=2x^{2}$$

כנס את ‎180x ו- ‎-98x כדי לקבל ‎82x.

$$82x-360=2x^{2}$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$82x-360-2x^{2}=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$41x-180-x^{2}=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-x^{2}+41x-180=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx-180. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=41 ab=-\left(-180\right)=180$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 180.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 41.

$$a=36 b=5$$

שכתב את ‎-x^{2}+41x-180 כ- ‎\left(-x^{2}+36x\right)+\left(5x-180\right).

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(5x-180\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-36\right)+5\left(x-36\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-36 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-36\right)\left(-x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-36=0 ו- -x+5=0.

$$x=36 x=5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

החסר ‎98x משני האגפים.

$$180x-360-98x=2x^{2}$$

כנס את ‎180x ו- ‎-98x כדי לקבל ‎82x.

$$82x-360=2x^{2}$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$82x-360-2x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-2x^{2}+82x-360=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -2 במקום a, ב- 82 במקום b, וב- -360 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-82±\sqrt{82^{2}-4\left(-2\right)\left(-360\right)}}{2\left(-2\right)}$$

‎82 בריבוע.

$$x=\frac{-82±\sqrt{6724-4\left(-2\right)\left(-360\right)}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-82±\sqrt{6724+8\left(-360\right)}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-360.

$$x=\frac{-82±\sqrt{6724-2880}}{2\left(-2\right)}$$

הוסף את ‎6724 ל- ‎-2880.

$$x=\frac{-82±\sqrt{3844}}{2\left(-2\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 3844.

$$x=\frac{-82±62}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-82±62}{-4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-82±62}{-4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-82 ל- ‎62.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎-4.

$$x=5$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-82±62}{-4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎62 מ- ‎-82.

$$x=-\frac{144}{-4}$$

חלק את ‎-144 ב- ‎-4.

$$x=36$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=5 x=36$$

שלבים להשלמת הריבוע

החסר ‎98x משני האגפים.

$$180x-360-98x=2x^{2}$$

כנס את ‎180x ו- ‎-98x כדי לקבל ‎82x.

$$82x-360=2x^{2}$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$82x-360-2x^{2}=0$$

הוסף ‎360 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$82x-2x^{2}=360$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+82x=360$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$\frac{-2x^{2}+82x}{-2}=\frac{360}{-2}$$

חילוק ב- ‎-2 מבטל את ההכפלה ב- ‎-2.

$$x^{2}+\frac{82}{-2}x=\frac{360}{-2}$$

חלק את ‎82 ב- ‎-2.

$$x^{2}-41x=\frac{360}{-2}$$

חלק את ‎360 ב- ‎-2.

$$x^{2}-41x=-180$$

חלק את ‎-41, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{41}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{41}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-41x+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-180+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{41}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=-180+\frac{1681}{4}$$

הוסף את ‎-180 ל- ‎\frac{1681}{4}.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=\frac{961}{4}$$

פרק x^{2}-41x+\frac{1681}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{41}{2}=\frac{31}{2} x-\frac{41}{2}=-\frac{31}{2}$$

הוסף ‎\frac{41}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=36 x=5$$