פתור את 18t^2-9t-5

$$18 t ^ { 2 } - 9 t - 5$$

פרק לגורמים

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 18t^{2}+at+bt-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-15 b=6$$

שכתב את ‎18t^{2}-9t-5 כ- ‎\left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right).

$$\left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3t ב- 18t^{2}-15t.

$$3t\left(6t-5\right)+6t-5$$

הוצא את האיבר המשותף 6t-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$18t^{2}-9t-5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

‎-9 בריבוע.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎18.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

הכפל את ‎-72 ב- ‎-5.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎360.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

הוצא את השורש הריבועי של 441.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$t=\frac{9±21}{2\times 18}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎18.

$$t=\frac{9±21}{36}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{9±21}{36} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎21.

$$t=\frac{30}{36}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{36} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$t=\frac{5}{6}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{9±21}{36} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎21 מ- ‎9.

$$t=-\frac{12}{36}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{36} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$t=-\frac{1}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{6} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{3} במקום x_{2}.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

החסר את t מ- \frac{5}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎t על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\times \frac{3t+1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{6t-5}{6} ב- ‎\frac{3t+1}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{6\times 3}$$

הכפל את ‎6 ב- ‎3.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{18}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎18 ב- ‎18 ו- ‎18.

$$18t^{2}-9t-5=\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

הערך

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$