פתור את 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 18x^{2}+ax+bx-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-15 b=6$$

שכתב את ‎18x^{2}-9x-5 כ- ‎\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x ב- 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

הוצא את האיבר המשותף 6x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 6x-5=0 ו- 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 18 במקום a, ב- -9 במקום b, וב- -5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

‎-9 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

הכפל את ‎-72 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

הוצא את השורש הריבועי של 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±21}{36} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎21.

$$x=\frac{30}{36}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{36} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±21}{36} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎21 מ- ‎9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{36} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

החסרת -5 מעצמו נותנת 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

החסר ‎-5 מ- ‎0.

$$18x^{2}-9x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

חילוק ב- ‎18 מבטל את ההכפלה ב- ‎18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-9}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

חלק את ‎-\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

הוסף את ‎\frac{5}{18} ל- ‎\frac{1}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

הוסף ‎\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$