פתור את 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0.25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0.25i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 16 במקום a, ב- -64 במקום b, וב- 65 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

‎-64 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-64 ב- ‎65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

הוסף את ‎4096 ל- ‎-4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

הוצא את השורש הריבועי של -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

ההופכי של ‎-64 הוא ‎64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{64±8i}{32} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎64 ל- ‎8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

חלק את ‎64+8i ב- ‎32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{64±8i}{32} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8i מ- ‎64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

חלק את ‎64-8i ב- ‎32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

החסר ‎65 משני אגפי המשוואה.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

החסרת 65 מעצמו נותנת 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

חילוק ב- ‎16 מבטל את ההכפלה ב- ‎16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

חלק את ‎-64 ב- ‎16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

חלק את ‎-4, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-2. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -2 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

‎-2 בריבוע.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

הוסף את ‎-\frac{65}{16} ל- ‎4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

פרק x^{2}-4x+4 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

פשט.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$