פתור את 16x^2+8x+1

$$16 x ^ { 2 } + 8 x + 1$$

פרק לגורמים

$$\left(4x+1\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 16x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=8 ab=16\times 1=16$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 8.

$$a=4 b=4$$

שכתב את ‎16x^{2}+8x+1 כ- ‎\left(16x^{2}+4x\right)+\left(4x+1\right).

$$\left(16x^{2}+4x\right)+\left(4x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x ב- 16x^{2}+4x.

$$4x\left(4x+1\right)+4x+1$$

הוצא את האיבר המשותף 4x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(4x+1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(16x^{2}+8x+1)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(16,8,1)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 16x^{2}.

$$\sqrt{16x^{2}}=4x$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(4x+1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}+8x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16}}{2\times 16}$$

‎8 בריבוע.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64}}{2\times 16}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-64.

$$x=\frac{-8±\sqrt{0}}{2\times 16}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-8±0}{2\times 16}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎16.

$$x=\frac{-8±0}{32}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{4} במקום x_{2}.

$$16x^{2}+8x+1=16\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$16x^{2}+8x+1=16\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$16x^{2}+8x+1=16\times \frac{4x+1}{4}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$16x^{2}+8x+1=16\times \frac{4x+1}{4}\times \frac{4x+1}{4}$$

הכפל את ‎\frac{4x+1}{4} ב- ‎\frac{4x+1}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$16x^{2}+8x+1=16\times \frac{\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)}{4\times 4}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎4.

$$16x^{2}+8x+1=16\times \frac{\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)}{16}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎16 ב- ‎16 ו- ‎16.

$$16x^{2}+8x+1=\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)$$

הערך

$$\left(4x+1\right)^{2}$$