פתור את 16x^2+58x+7

$$16 x ^ { 2 } + 58 x + 7$$

פרק לגורמים

$$\left(2x+7\right)\left(8x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 16x^{2}+ax+bx+7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=58 ab=16\times 7=112$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 112.

$$1,112 2,56 4,28 7,16 8,14$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+112=113 2+56=58 4+28=32 7+16=23 8+14=22$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 58.

$$a=2 b=56$$

שכתב את ‎16x^{2}+58x+7 כ- ‎\left(16x^{2}+2x\right)+\left(56x+7\right).

$$\left(16x^{2}+2x\right)+\left(56x+7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$2x\left(8x+1\right)+7\left(8x+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 8x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(8x+1\right)\left(2x+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}+58x+7=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-58±\sqrt{58^{2}-4\times 16\times 7}}{2\times 16}$$

‎58 בריבוע.

$$x=\frac{-58±\sqrt{3364-4\times 16\times 7}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎16.

$$x=\frac{-58±\sqrt{3364-64\times 7}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-64 ב- ‎7.

$$x=\frac{-58±\sqrt{3364-448}}{2\times 16}$$

הוסף את ‎3364 ל- ‎-448.

$$x=\frac{-58±\sqrt{2916}}{2\times 16}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2916.

$$x=\frac{-58±54}{2\times 16}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎16.

$$x=\frac{-58±54}{32}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-58±54}{32} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-58 ל- ‎54.

$$x=-\frac{4}{32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{1}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-58±54}{32} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎54 מ- ‎-58.

$$x=-\frac{112}{32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-112}{32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$x=-\frac{7}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{8} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{2} במקום x_{2}.

$$16x^{2}+58x+7=16\left(x-\left(-\frac{1}{8}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{7}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$16x^{2}+58x+7=16\left(x+\frac{1}{8}\right)\left(x+\frac{7}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{8} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$16x^{2}+58x+7=16\times \frac{8x+1}{8}\left(x+\frac{7}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$16x^{2}+58x+7=16\times \frac{8x+1}{8}\times \frac{2x+7}{2}$$

הכפל את ‎\frac{8x+1}{8} ב- ‎\frac{2x+7}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$16x^{2}+58x+7=16\times \frac{\left(8x+1\right)\left(2x+7\right)}{8\times 2}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎2.

$$16x^{2}+58x+7=16\times \frac{\left(8x+1\right)\left(2x+7\right)}{16}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎16 ב- ‎16 ו- ‎16.

$$16x^{2}+58x+7=\left(8x+1\right)\left(2x+7\right)$$

הערך

$$\left(2x+7\right)\left(8x+1\right)$$