פתור את 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 16x^{2}+ax+bx-9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=-8 b=18$$

שכתב את ‎16x^{2}+10x-9 כ- ‎\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 8x בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-1=0 ו- 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 16 במקום a, ב- 10 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

‎10 בריבוע.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-64 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±26}{32} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎26.

$$x=\frac{16}{32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±26}{32} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎-10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-36}{32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

החסרת -9 מעצמו נותנת 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

החסר ‎-9 מ- ‎0.

$$16x^{2}+10x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

חילוק ב- ‎16 מבטל את ההכפלה ב- ‎16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

חלק את ‎\frac{5}{8}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{16}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{16} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{16} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

הוסף את ‎\frac{9}{16} ל- ‎\frac{25}{256} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

פרק x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

החסר ‎\frac{5}{16} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$