פתור את 16x^2+10x-9=

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 =$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 16x^{2}+ax+bx-9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=-8 b=18$$

שכתב את ‎16x^{2}+10x-9 כ- ‎\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 8x בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

‎10 בריבוע.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

הכפל את ‎-64 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±26}{32} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎26.

$$x=\frac{16}{32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±26}{32} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎-10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-36}{32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{9}{8} במקום x_{2}.

$$16x^{2}+10x-9=16\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{9}{8}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$16x^{2}+10x-9=16\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{9}{8}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{9}{8}\right)$$

הוסף את ‎\frac{9}{8} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{8x+9}{8}$$

הכפל את ‎\frac{2x-1}{2} ב- ‎\frac{8x+9}{8} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)}{16}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎16 ב- ‎16 ו- ‎16.

$$16x^{2}+10x-9=\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

הערך

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$