פתור את 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42.122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7.122144504$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 15 במקום a, ב- -525 במקום b, וב- -4500 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

‎-525 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎-4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎275625 ל- ‎270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 545625.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

ההופכי של ‎-525 הוא ‎525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎525 ל- ‎75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

חלק את ‎525+75\sqrt{97} ב- ‎30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎75\sqrt{97} מ- ‎525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

חלק את ‎525-75\sqrt{97} ב- ‎30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

הוסף ‎4500 לשני אגפי המשוואה.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

החסרת -4500 מעצמו נותנת 0.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

החסר ‎-4500 מ- ‎0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

חילוק ב- ‎15 מבטל את ההכפלה ב- ‎15.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

חלק את ‎-525 ב- ‎15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

חלק את ‎4500 ב- ‎15.

$$x^{2}-35x=300$$

חלק את ‎-35, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{35}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{35}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{35}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

הוסף את ‎300 ל- ‎\frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

פרק x^{2}-35x+\frac{1225}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

הוסף ‎\frac{35}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$