פתור את 15x^2-25x-60

$$15 x ^ { 2 } - 25 x - 60$$

פרק לגורמים

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 5.

$$5\left(3x^{2}-5x-12\right)$$

שקול את 3x^{2}-5x-12. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx-12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-9 b=4$$

שכתב את ‎3x^{2}-5x-12 כ- ‎\left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-25x-60=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 15\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

‎-25 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 15\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-60\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎-60.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+3600}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎625 ל- ‎3600.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{4225}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4225.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±65}{2\times 15}$$

ההופכי של ‎-25 הוא ‎25.

$$x=\frac{25±65}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$x=\frac{25±65}{30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{25±65}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎25 ל- ‎65.

$$x=\frac{90}{30}$$

חלק את ‎90 ב- ‎30.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{25±65}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎65 מ- ‎25.

$$x=-\frac{40}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=-\frac{4}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{4}{3} במקום x_{2}.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\times \frac{3x+4}{3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎15 ו- ‎3.

$$15x^{2}-25x-60=5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

הערך

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$