פתור את 15x^2+7x=4

$$15 x ^ { 2 } + 7 x = 4$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎4 משני האגפים.

$$15x^{2}+7x-4=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 15x^{2}+ax+bx-4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=15\left(-4\right)=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-5 b=12$$

שכתב את ‎15x^{2}+7x-4 כ- ‎\left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$5x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-1=0 ו- 5x+4=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$15x^{2}+7x=4$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$15x^{2}+7x-4=4-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$15x^{2}+7x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 15 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎240.

$$x=\frac{-7±\sqrt{289}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-7±17}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$x=\frac{-7±17}{30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±17}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎17.

$$x=\frac{10}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±17}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{24}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-24}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+7x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$\frac{15x^{2}+7x}{15}=\frac{4}{15}$$

חילוק ב- ‎15 מבטל את ההכפלה ב- ‎15.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{4}{15}$$

חלק את ‎\frac{7}{15}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{30}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{30} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{30} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{4}{15}+\frac{49}{900}$$

הוסף את ‎\frac{4}{15} ל- ‎\frac{49}{900} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{289}{900}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{289}{900}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{900}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{17}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{17}{30}$$

החסר ‎\frac{7}{30} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$