פתור את 15x^2+25x+10

$$15 x ^ { 2 } + 25 x + 10$$

פרק לגורמים

$$5\left(x+1\right)\left(3x+2\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 5.

$$5\left(3x^{2}+5x+2\right)$$

שקול את 3x^{2}+5x+2. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 6.

$$1,6 2,3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+6=7 2+3=5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=2 b=3$$

שכתב את ‎3x^{2}+5x+2 כ- ‎\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- 3x^{2}+2x.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$5\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}+25x+10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

‎25 בריבוע.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-60\times 10}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎10.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-600}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎625 ל- ‎-600.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$x=\frac{-25±5}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$x=\frac{-25±5}{30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-25±5}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-25 ל- ‎5.

$$x=-\frac{20}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-25±5}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎-25.

$$x=-\frac{30}{30}$$

חלק את ‎-30 ב- ‎30.

$$x=-1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{2}{3} במקום x_{1} וב- ‎-1 במקום x_{2}.

$$15x^{2}+25x+10=15\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$15x^{2}+25x+10=15\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+1\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15x^{2}+25x+10=15\times \frac{3x+2}{3}\left(x+1\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎15 ו- ‎3.

$$15x^{2}+25x+10=5\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

הערך

$$5\left(x+1\right)\left(3x+2\right)$$