פתור את 15x^2+16x-15=

$$15 x ^ { 2 } + 16 x - 15 =$$

פרק לגורמים

$$\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 15x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=16 ab=15\left(-15\right)=-225$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -225.

$$-1,225 -3,75 -5,45 -9,25 -15,15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+225=224 -3+75=72 -5+45=40 -9+25=16 -15+15=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 16.

$$a=-9 b=25$$

שכתב את ‎15x^{2}+16x-15 כ- ‎\left(15x^{2}-9x\right)+\left(25x-15\right).

$$\left(15x^{2}-9x\right)+\left(25x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3x\left(5x-3\right)+5\left(5x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}+16x-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

‎16 בריבוע.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-60\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+900}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎900.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1156}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1156.

$$x=\frac{-16±34}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$x=\frac{-16±34}{30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±34}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎34.

$$x=\frac{18}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{3}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±34}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎34 מ- ‎-16.

$$x=-\frac{50}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-50}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=-\frac{5}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{5} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{3} במקום x_{2}.

$$15x^{2}+16x-15=15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$15x^{2}+16x-15=15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{5x-3}{5}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{5x-3}{5}\times \frac{3x+5}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5x-3}{5} ב- ‎\frac{3x+5}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)}{5\times 3}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎3.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)}{15}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎15 ב- ‎15 ו- ‎15.

$$15x^{2}+16x-15=\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$

הערך

$$\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$