פתור את 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 15x^{2}+ax+bx+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=5 b=6$$

שכתב את ‎15x^{2}+11x+2 כ- ‎\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x+1=0 ו- 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 15 במקום a, ב- 11 במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

‎11 בריבוע.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±1}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±1}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎-11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

החסרת 2 מעצמו נותנת 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

חילוק ב- ‎15 מבטל את ההכפלה ב- ‎15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

חלק את ‎\frac{11}{15}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{11}{30}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{11}{30} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{11}{30} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

הוסף את ‎-\frac{2}{15} ל- ‎\frac{121}{900} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

פרק x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

פשט.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

החסר ‎\frac{11}{30} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$