פתור את 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 15x^{2}+ax+bx-16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-20 b=12$$

שכתב את ‎15x^{2}-8x-16 כ- ‎\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

‎-8 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎-16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±32}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎32.

$$x=\frac{40}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{40}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±32}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎32 מ- ‎8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-24}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{4}{5} במקום x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

החסר את x מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{4}{5} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

הכפל את ‎\frac{3x-4}{3} ב- ‎\frac{5x+4}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎15 ב- ‎15 ו- ‎15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

הערך

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$