פתור את 15x^2-26x-57

$$15 { x }^{ 2 } -26x-57$$

פרק לגורמים

$$\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 15x^{2}+ax+bx-57. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-26 ab=15\left(-57\right)=-855$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -855.

$$1,-855 3,-285 5,-171 9,-95 15,-57 19,-45$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-855=-854 3-285=-282 5-171=-166 9-95=-86 15-57=-42 19-45=-26$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -26.

$$a=-45 b=19$$

שכתב את ‎15x^{2}-26x-57 כ- ‎\left(15x^{2}-45x\right)+\left(19x-57\right).

$$\left(15x^{2}-45x\right)+\left(19x-57\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 15x בקבוצה הראשונה ואת 19 בקבוצה השניה.

$$15x\left(x-3\right)+19\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-26x-57=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 15\left(-57\right)}}{2\times 15}$$

‎-26 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\times 15\left(-57\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-60\left(-57\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎-57.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676+3420}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎676 ל- ‎3420.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{4096}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4096.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±64}{2\times 15}$$

ההופכי של ‎-26 הוא ‎26.

$$x=\frac{26±64}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$x=\frac{26±64}{30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{26±64}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎26 ל- ‎64.

$$x=\frac{90}{30}$$

חלק את ‎90 ב- ‎30.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{26±64}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎64 מ- ‎26.

$$x=-\frac{38}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-38}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{19}{15}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{19}{15} במקום x_{2}.

$$15x^{2}-26x-57=15\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{19}{15}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$15x^{2}-26x-57=15\left(x-3\right)\left(x+\frac{19}{15}\right)$$

הוסף את ‎\frac{19}{15} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15x^{2}-26x-57=15\left(x-3\right)\times \frac{15x+19}{15}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎15 ב- ‎15 ו- ‎15.

$$15x^{2}-26x-57=\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$

הערך

$$\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$