פתור את 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 15x^{2}+ax+bx-4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 4.

$$a=-6 b=10$$

שכתב את ‎15x^{2}+4x-4 כ- ‎\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 5x-2=0 ו- 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 15 במקום a, ב- 4 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

הכפל את ‎-60 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

הוצא את השורש הריבועי של 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±16}{30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎16.

$$x=\frac{12}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±16}{30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16 מ- ‎-4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{30} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

החסרת -4 מעצמו נותנת 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

החסר ‎-4 מ- ‎0.

$$15x^{2}+4x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

חילוק ב- ‎15 מבטל את ההכפלה ב- ‎15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

חלק את ‎\frac{4}{15}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{2}{15}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{2}{15} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{2}{15} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

הוסף את ‎\frac{4}{15} ל- ‎\frac{4}{225} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

פרק x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

פשט.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

החסר ‎\frac{2}{15} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$