פתור את 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0.285714286$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 14x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$a=-4 b=7$$

שכתב את ‎14x^{2}+3x-2 כ- ‎\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right).

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x ב- 14x^{2}-4x.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

הוצא את האיבר המשותף 7x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 7x-2=0 ו- 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 14 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- -2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

הכפל את ‎-56 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±11}{28} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎11.

$$x=\frac{8}{28}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{28} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{2}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±11}{28} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{28} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

החסרת -2 מעצמו נותנת 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

החסר ‎-2 מ- ‎0.

$$14x^{2}+3x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

חילוק ב- ‎14 מבטל את ההכפלה ב- ‎14.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{14} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

חלק את ‎\frac{3}{14}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{28}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{28} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{28} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

הוסף את ‎\frac{1}{7} ל- ‎\frac{9}{784} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

החסר ‎\frac{3}{28} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$