פתור את 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 14x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -29.

$$a=-35 b=6$$

שכתב את ‎14x^{2}-29x-15 כ- ‎\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-5=0 ו- 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 14 במקום a, ב- -29 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

‎-29 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

הכפל את ‎-56 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

הוסף את ‎841 ל- ‎840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

ההופכי של ‎-29 הוא ‎29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{29±41}{28} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎29 ל- ‎41.

$$x=\frac{70}{28}$$

צמצם את השבר ‎\frac{70}{28} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{29±41}{28} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎41 מ- ‎29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{28} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$14x^{2}-29x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

חילוק ב- ‎14 מבטל את ההכפלה ב- ‎14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

חלק את ‎-\frac{29}{14}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{29}{28}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{29}{28} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{29}{28} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

הוסף את ‎\frac{15}{14} ל- ‎\frac{841}{784} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

פרק x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

פשט.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

הוסף ‎\frac{29}{28} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$