פתור את 13x^2-5x-20=0

$$13 x ^ { 2 } - 5 x - 20 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{1065} + 5}{26} \approx 1.447474529$$

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}\approx -1.062859144$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 13 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- -20 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

הכפל את ‎-52 ב- ‎-20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+1040}}{2\times 13}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎1040.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎13.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎\sqrt{1065}.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{1065} מ- ‎5.

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$13x^{2}-5x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

החסרת -20 מעצמו נותנת 0.

$$13x^{2}-5x=-\left(-20\right)$$

החסר ‎-20 מ- ‎0.

$$13x^{2}-5x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=\frac{20}{13}$$

חילוק ב- ‎13 מבטל את ההכפלה ב- ‎13.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=\frac{20}{13}$$

חלק את ‎-\frac{5}{13}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{26}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{26} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{26} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{20}{13}+\frac{25}{676}$$

הוסף את ‎\frac{20}{13} ל- ‎\frac{25}{676} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{1065}{676}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{1065}{676}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1065}{676}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{1065}}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{1065}}{26}$$

הוסף ‎\frac{5}{26} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$