פתור את 12345x^2+54321x-99999=0

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1.397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5.797467635$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 12345 במקום a, ב- 54321 במקום b, וב- -99999 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

‎54321 בריבוע.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12345.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

הכפל את ‎-49380 ב- ‎-99999.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

הוסף את ‎2950771041 ל- ‎4937950620.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

הוצא את השורש הריבועי של 7888721661.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12345.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-54321 ל- ‎3\sqrt{876524629}.

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

חלק את ‎-54321+3\sqrt{876524629} ב- ‎24690.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3\sqrt{876524629} מ- ‎-54321.

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

חלק את ‎-54321-3\sqrt{876524629} ב- ‎24690.

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

הוסף ‎99999 לשני אגפי המשוואה.

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

החסרת -99999 מעצמו נותנת 0.

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

החסר ‎-99999 מ- ‎0.

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12345.

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

חילוק ב- ‎12345 מבטל את ההכפלה ב- ‎12345.

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

צמצם את השבר ‎\frac{54321}{12345} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

צמצם את השבר ‎\frac{99999}{12345} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

חלק את ‎\frac{18107}{4115}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{18107}{8230}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{18107}{8230} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{18107}{8230} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

הוסף את ‎\frac{33333}{4115} ל- ‎\frac{327863449}{67732900} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

פרק x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

פשט.

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

החסר ‎\frac{18107}{8230} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$