פתור את 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-2300. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 200.

$$a=-30 b=230$$

שכתב את ‎3x^{2}+200x-2300 כ- ‎\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 230 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-10=0 ו- 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 120 במקום a, ב- 8000 במקום b, וב- -92000 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

‎8000 בריבוע.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

הכפל את ‎-480 ב- ‎-92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

הוסף את ‎64000000 ל- ‎44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

הוצא את השורש הריבועי של 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8000±10400}{240} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8000 ל- ‎10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

חלק את ‎2400 ב- ‎240.

$$x=10$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8000±10400}{240} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10400 מ- ‎-8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18400}{240} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

הוסף ‎92000 לשני אגפי המשוואה.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

החסרת -92000 מעצמו נותנת 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

החסר ‎-92000 מ- ‎0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

חילוק ב- ‎120 מבטל את ההכפלה ב- ‎120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8000}{120} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

צמצם את השבר ‎\frac{92000}{120} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

חלק את ‎\frac{200}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{100}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{100}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{100}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

הוסף את ‎\frac{2300}{3} ל- ‎\frac{10000}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

פרק x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

החסר ‎\frac{100}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$