פתור את 12x^2-8x-15=0

$$12 x ^ { 2 } - 8 x - 15 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 12x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=12\left(-15\right)=-180$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-18 b=10$$

שכתב את ‎12x^{2}-8x-15 כ- ‎\left(12x^{2}-18x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(12x^{2}-18x\right)+\left(10x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 6x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$6x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-3\right)\left(6x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-3=0 ו- 6x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$12x^{2}-8x-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 12 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

‎-8 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+720}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎720.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 784.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±28}{2\times 12}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$x=\frac{8±28}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{8±28}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±28}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎28.

$$x=\frac{36}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{36}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±28}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎28 מ- ‎8.

$$x=-\frac{20}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{5}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-8x-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$12x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$12x^{2}-8x=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$12x^{2}-8x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$\frac{12x^{2}-8x}{12}=\frac{15}{12}$$

חילוק ב- ‎12 מבטל את ההכפלה ב- ‎12.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{12}\right)x=\frac{15}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{15}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{15}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{5}{4}$$

חלק את ‎-\frac{2}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{4}+\frac{1}{9}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎\frac{1}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{36}$$

פרק x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{6} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$$

הוסף ‎\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{6}$$