פתור את 12x^2-5x-2

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 2$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=12\left(-2\right)=-24$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-8 b=3$$

שכתב את ‎12x^{2}-5x-2 כ- ‎\left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right).

$$\left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x ב- 12x^{2}-8x.

$$4x\left(3x-2\right)+3x-2$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-5x-2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 12}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±11}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{5±11}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±11}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎11.

$$x=\frac{16}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±11}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎5.

$$x=-\frac{6}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{1}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{4} במקום x_{2}.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

החסר את x מ- \frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{4x+1}{4}$$

הכפל את ‎\frac{3x-2}{3} ב- ‎\frac{4x+1}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{3\times 4}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12x^{2}-5x-2=\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

הערך

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$