פתור את 12x^2-24x-63

$$12 x ^ { 2 } - 24 x - 63$$

פרק לגורמים

$$3\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 3.

$$3\left(4x^{2}-8x-21\right)$$

שקול את 4x^{2}-8x-21. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx-21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=4\left(-21\right)=-84$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-14 b=6$$

שכתב את ‎4x^{2}-8x-21 כ- ‎\left(4x^{2}-14x\right)+\left(6x-21\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(6x-21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x-7\right)+3\left(2x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$3\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-24x-63=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 12\left(-63\right)}}{2\times 12}$$

‎-24 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 12\left(-63\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-48\left(-63\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-63.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+3024}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎3024.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{3600}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 3600.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±60}{2\times 12}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$x=\frac{24±60}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{24±60}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{24±60}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎24 ל- ‎60.

$$x=\frac{84}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{84}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=\frac{7}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{24±60}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎60 מ- ‎24.

$$x=-\frac{36}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-36}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{7}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$12x^{2}-24x-63=12\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12x^{2}-24x-63=12\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

החסר את x מ- \frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}-24x-63=12\times \frac{2x-7}{2}\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}-24x-63=12\times \frac{2x-7}{2}\times \frac{2x+3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2x-7}{2} ב- ‎\frac{2x+3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}-24x-63=12\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$12x^{2}-24x-63=12\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎12 ו- ‎4.

$$12x^{2}-24x-63=3\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)$$

הערך

$$12x^{2}-24x-63$$