פתור את 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0.083333333+0.640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0.083333333-0.640095479i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 12 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- 5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

חלק את ‎2+2i\sqrt{59} ב- ‎24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{59} מ- ‎2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

חלק את ‎2-2i\sqrt{59} ב- ‎24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

חילוק ב- ‎12 מבטל את ההכפלה ב- ‎12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

חלק את ‎-\frac{1}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{12} ל- ‎\frac{1}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

הוסף ‎\frac{1}{12} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$