פתור את 12x^2+7x-12

$$12 x ^ { 2 } + 7 x - 12$$

פרק לגורמים

$$\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12x^{2}+ax+bx-12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-9 b=16$$

שכתב את ‎12x^{2}+7x-12 כ- ‎\left(12x^{2}-9x\right)+\left(16x-12\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(16x-12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$3x\left(4x-3\right)+4\left(4x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+7x-12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{-7±25}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±25}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎25.

$$x=\frac{18}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±25}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎25 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{32}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-32}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{4}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{4}{3} במקום x_{2}.

$$12x^{2}+7x-12=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12x^{2}+7x-12=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+4}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4x-3}{4} ב- ‎\frac{3x+4}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)}{4\times 3}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎3.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12x^{2}+7x-12=\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$

הערך

$$\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$