פתור את 12x^2+29x+14

$$12 x ^ { 2 } + 29 x + 14$$

פרק לגורמים

$$\left(3x+2\right)\left(4x+7\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12x^{2}+ax+bx+14. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=29 ab=12\times 14=168$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 168.

$$1,168 2,84 3,56 4,42 6,28 7,24 8,21 12,14$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+168=169 2+84=86 3+56=59 4+42=46 6+28=34 7+24=31 8+21=29 12+14=26$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 29.

$$a=8 b=21$$

שכתב את ‎12x^{2}+29x+14 כ- ‎\left(12x^{2}+8x\right)+\left(21x+14\right).

$$\left(12x^{2}+8x\right)+\left(21x+14\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$4x\left(3x+2\right)+7\left(3x+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+2\right)\left(4x+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+29x+14=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times 12\times 14}}{2\times 12}$$

‎29 בריבוע.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-4\times 12\times 14}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-48\times 14}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎14.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-672}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎841 ל- ‎-672.

$$x=\frac{-29±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-29±13}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{-29±13}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-29±13}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-29 ל- ‎13.

$$x=-\frac{16}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-29±13}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-29.

$$x=-\frac{42}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-42}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{2}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{4} במקום x_{2}.

$$12x^{2}+29x+14=12\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{7}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12x^{2}+29x+14=12\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{7}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+29x+14=12\times \frac{3x+2}{3}\left(x+\frac{7}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{4} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+29x+14=12\times \frac{3x+2}{3}\times \frac{4x+7}{4}$$

הכפל את ‎\frac{3x+2}{3} ב- ‎\frac{4x+7}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+29x+14=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+7\right)}{3\times 4}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4.

$$12x^{2}+29x+14=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+7\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12x^{2}+29x+14=\left(3x+2\right)\left(4x+7\right)$$

הערך

$$\left(3x+2\right)\left(4x+7\right)$$