פתור את 12x^2+23x-24

$$12 x ^ { 2 } + 23 x - 24$$

פרק לגורמים

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12x^{2}+ax+bx-24. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=23 ab=12\left(-24\right)=-288$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -288.

$$-1,288 -2,144 -3,96 -4,72 -6,48 -8,36 -9,32 -12,24 -16,18$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+288=287 -2+144=142 -3+96=93 -4+72=68 -6+48=42 -8+36=28 -9+32=23 -12+24=12 -16+18=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 23.

$$a=-9 b=32$$

שכתב את ‎12x^{2}+23x-24 כ- ‎\left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$3x\left(4x-3\right)+8\left(4x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+23x-24=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

‎23 בריבוע.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-48\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-24.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1152}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎529 ל- ‎1152.

$$x=\frac{-23±\sqrt{1681}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1681.

$$x=\frac{-23±41}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{-23±41}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-23±41}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-23 ל- ‎41.

$$x=\frac{18}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-23±41}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎41 מ- ‎-23.

$$x=-\frac{64}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-64}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{8}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{8}{3} במקום x_{2}.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+8}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4x-3}{4} ב- ‎\frac{3x+8}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{4\times 3}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎3.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12x^{2}+23x-24=\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

הערך

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$