פתור את 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

פרק לגורמים

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12t^{2}+at+bt-10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-15 b=8$$

שכתב את ‎12t^{2}-7t-10 כ- ‎\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3t בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4t-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

‎-7 בריבוע.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{7±23}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎23.

$$t=\frac{30}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{7±23}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$t=-\frac{2}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{2}{3} במקום x_{2}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

החסר את t מ- \frac{5}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎t על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4t-5}{4} ב- ‎\frac{3t+2}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

הערך

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$