פתור את 12k^2+16k-3

$$12 k ^ { 2 } + 16 k - 3$$

פרק לגורמים

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12k^{2}+ak+bk-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=16 ab=12\left(-3\right)=-36$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 16.

$$a=-2 b=18$$

שכתב את ‎12k^{2}+16k-3 כ- ‎\left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right).

$$\left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2k בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2k\left(6k-1\right)+3\left(6k-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 6k-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+16k-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$k=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

‎16 בריבוע.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-3.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎144.

$$k=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 400.

$$k=\frac{-16±20}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$k=\frac{-16±20}{24}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-16±20}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎20.

$$k=\frac{4}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$k=\frac{1}{6}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-16±20}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20 מ- ‎-16.

$$k=-\frac{36}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-36}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$k=-\frac{3}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{6} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

החסר את k מ- \frac{1}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎k על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\times \frac{2k+3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{6k-1}{6} ב- ‎\frac{2k+3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{6\times 2}$$

הכפל את ‎6 ב- ‎2.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12k^{2}+16k-3=\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

הערך

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$