פתור את 12k^2+15k-27

$$12 k ^ { 2 } + 15 k - 27$$

פרק לגורמים

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 3.

$$3\left(4k^{2}+5k-9\right)$$

שקול את 4k^{2}+5k-9. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4k^{2}+ak+bk-9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=4\left(-9\right)=-36$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=-4 b=9$$

שכתב את ‎4k^{2}+5k-9 כ- ‎\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right).

$$\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4k בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$4k\left(k-1\right)+9\left(k-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף k-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+15k-27=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$k=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

‎15 בריבוע.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-27.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225+1296}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎225 ל- ‎1296.

$$k=\frac{-15±\sqrt{1521}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1521.

$$k=\frac{-15±39}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$k=\frac{-15±39}{24}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-15±39}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-15 ל- ‎39.

$$k=\frac{24}{24}$$

חלק את ‎24 ב- ‎24.

$$k=1$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-15±39}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎39 מ- ‎-15.

$$k=-\frac{54}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-54}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$k=-\frac{9}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎1 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{9}{4} במקום x_{2}.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k+\frac{9}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{9}{4} ל- ‎k על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\times \frac{4k+9}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎12 ו- ‎4.

$$12k^{2}+15k-27=3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

הערך

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$