פתור את 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

פרק לגורמים

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12c^{2}+ac+bc-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=-9 b=20$$

שכתב את ‎12c^{2}+11c-15 כ- ‎\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3c בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4c-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

‎11 בריבוע.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

כעת פתור את המשוואה c=\frac{-11±29}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎29.

$$c=\frac{18}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$c=\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה c=\frac{-11±29}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎29 מ- ‎-11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$c=-\frac{5}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{3} במקום x_{2}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

החסר את c מ- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎c על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4c-3}{4} ב- ‎\frac{3c+5}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

הערך

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$