פתור את 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

פרק לגורמים

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12z^{2}+az+bz-12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-16 b=9$$

שכתב את ‎12z^{2}-7z-12 כ- ‎\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4z בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3z-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

‎-7 בריבוע.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{7±25}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎25.

$$z=\frac{32}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{32}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{7±25}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎25 מ- ‎7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{4} במקום x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

החסר את z מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎z על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

הכפל את ‎\frac{3z-4}{3} ב- ‎\frac{4z+3}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

הערך

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$