פתור את 12x^2-x-6

$$12 { x }^{ 2 } -x-6$$

פרק לגורמים

$$\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12x^{2}+ax+bx-6. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=12\left(-6\right)=-72$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-9 b=8$$

שכתב את ‎12x^{2}-x-6 כ- ‎\left(12x^{2}-9x\right)+\left(8x-6\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(8x-6\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$3x\left(4x-3\right)+2\left(4x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-x-6=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 12}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{1±17}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±17}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎17.

$$x=\frac{18}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±17}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎1.

$$x=-\frac{16}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{2}{3} במקום x_{2}.

$$12x^{2}-x-6=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12x^{2}-x-6=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4x-3}{4} ב- ‎\frac{3x+2}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)}{4\times 3}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎3.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12x^{2}-x-6=\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$

הערך

$$\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$