פתור את 12x^2+80x+100

$$12 { x }^{ 2 } +80x+100$$

פרק לגורמים

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 4.

$$4\left(3x^{2}+20x+25\right)$$

שקול את 3x^{2}+20x+25. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx+25. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=20 ab=3\times 25=75$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 20.

$$a=5 b=15$$

שכתב את ‎3x^{2}+20x+25 כ- ‎\left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+80x+100=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

‎80 בריבוע.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 100}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎100.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4800}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎6400 ל- ‎-4800.

$$x=\frac{-80±\sqrt{1600}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1600.

$$x=\frac{-80±40}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{-80±40}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-80±40}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-80 ל- ‎40.

$$x=-\frac{40}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{5}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-80±40}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎40 מ- ‎-80.

$$x=-\frac{120}{24}$$

חלק את ‎-120 ב- ‎24.

$$x=-5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{5}{3} במקום x_{1} וב- ‎-5 במקום x_{2}.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+5\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+80x+100=12\times \frac{3x+5}{3}\left(x+5\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎12 ו- ‎3.

$$12x^{2}+80x+100=4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

הערך

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$