פתור את 12x^2+5x-3

$$12 { x }^{ 2 } +5x-3$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 12x^{2}+ax+bx-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=-4 b=9$$

שכתב את ‎12x^{2}+5x-3 כ- ‎\left(12x^{2}-4x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(9x-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$4x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+5x-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{-5±13}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±13}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎13.

$$x=\frac{8}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±13}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-5.

$$x=-\frac{18}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{4} במקום x_{2}.

$$12x^{2}+5x-3=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$12x^{2}+5x-3=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+5x-3=12\times \frac{3x-1}{3}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+5x-3=12\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{4x+3}{4}$$

הכפל את ‎\frac{3x-1}{3} ב- ‎\frac{4x+3}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$12x^{2}+5x-3=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)}{3\times 4}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4.

$$12x^{2}+5x-3=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)}{12}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎12 ב- ‎12 ו- ‎12.

$$12x^{2}+5x-3=\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)$$

הערך

$$\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)$$