פתור את 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 12x^{2}+ax+bx+5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 32.

$$a=2 b=30$$

שכתב את ‎12x^{2}+32x+5 כ- ‎\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 6x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 6x+1=0 ו- 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 12 במקום a, ב- 32 במקום b, וב- 5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

‎32 בריבוע.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎-240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-32±28}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-32 ל- ‎28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-32±28}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎28 מ- ‎-32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-60}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

חילוק ב- ‎12 מבטל את ההכפלה ב- ‎12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{32}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

חלק את ‎\frac{8}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{4}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{4}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{12} ל- ‎\frac{16}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

פשט.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

החסר ‎\frac{4}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$