פתור את 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 12 במקום a, ב- 25 במקום b, וב- -45 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

‎25 בריבוע.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎625 ל- ‎2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-25 ל- ‎\sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{2785} מ- ‎-25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

הוסף ‎45 לשני אגפי המשוואה.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

החסרת -45 מעצמו נותנת 0.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

החסר ‎-45 מ- ‎0.

$$12x^{2}+25x=45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

חילוק ב- ‎12 מבטל את ההכפלה ב- ‎12.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{45}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

חלק את ‎\frac{25}{12}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{25}{24}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{25}{24} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{25}{24} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

הוסף את ‎\frac{15}{4} ל- ‎\frac{625}{576} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

פשט.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

החסר ‎\frac{25}{24} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$