פתור את 11x^2-122x+11

$$11 x ^ { 2 } - 122 x + 11$$

פרק לגורמים

$$\left(x-11\right)\left(11x-1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 11x^{2}+ax+bx+11. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-122 ab=11\times 11=121$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 121.

$$-1,-121 -11,-11$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-121=-122 -11-11=-22$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -122.

$$a=-121 b=-1$$

שכתב את ‎11x^{2}-122x+11 כ- ‎\left(11x^{2}-121x\right)+\left(-x+11\right).

$$\left(11x^{2}-121x\right)+\left(-x+11\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 11x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$11x\left(x-11\right)-\left(x-11\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-11 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-11\right)\left(11x-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-122x+11=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{\left(-122\right)^{2}-4\times 11\times 11}}{2\times 11}$$

‎-122 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{14884-4\times 11\times 11}}{2\times 11}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎11.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{14884-44\times 11}}{2\times 11}$$

הכפל את ‎-44 ב- ‎11.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{14884-484}}{2\times 11}$$

הוסף את ‎14884 ל- ‎-484.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{14400}}{2\times 11}$$

הוצא את השורש הריבועי של 14400.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±120}{2\times 11}$$

ההופכי של ‎-122 הוא ‎122.

$$x=\frac{122±120}{2\times 11}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎11.

$$x=\frac{122±120}{22}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{122±120}{22} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎122 ל- ‎120.

$$x=\frac{242}{22}$$

חלק את ‎242 ב- ‎22.

$$x=11$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{122±120}{22} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎120 מ- ‎122.

$$x=\frac{2}{22}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{22} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{1}{11}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎11 במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{11} במקום x_{2}.

$$11x^{2}-122x+11=11\left(x-11\right)\left(x-\frac{1}{11}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{11} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$11x^{2}-122x+11=11\left(x-11\right)\times \frac{11x-1}{11}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎11 ב- ‎11 ו- ‎11.

$$11x^{2}-122x+11=\left(x-11\right)\left(11x-1\right)$$

הערך

$$\left(x-11\right)\left(11x-1\right)$$