פתור את 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0.454545455+0.987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0.454545455-0.987525499i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 11 במקום a, ב- -10 במקום b, וב- 13 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

‎-10 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

הכפל את ‎-44 ב- ‎13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

הוצא את השורש הריבועי של -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

חלק את ‎10+2i\sqrt{118} ב- ‎22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{118} מ- ‎10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

חלק את ‎10-2i\sqrt{118} ב- ‎22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

החסר ‎13 משני אגפי המשוואה.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

החסרת 13 מעצמו נותנת 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

חילוק ב- ‎11 מבטל את ההכפלה ב- ‎11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

חלק את ‎-\frac{10}{11}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{11}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{11} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{11} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{11} ל- ‎\frac{25}{121} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

פרק x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

הוסף ‎\frac{5}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$