פתור את 11x^2+9x+4=0

$$11 { x }^{ 2 } +9x+4=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}\approx -0.409090909+0.443036107i$$

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}\approx -0.409090909-0.443036107i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 11 במקום a, ב- 9 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

‎9 בריבוע.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-44\times 4}}{2\times 11}$$

הכפל את ‎-44 ב- ‎4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-176}}{2\times 11}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎-176.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-95}}{2\times 11}$$

הוצא את השורש הריבועי של -95.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{2\times 11}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎i\sqrt{95}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{95} מ- ‎-9.

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$11x^{2}+9x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$11x^{2}+9x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$\frac{11x^{2}+9x}{11}=-\frac{4}{11}$$

חילוק ב- ‎11 מבטל את ההכפלה ב- ‎11.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x=-\frac{4}{11}$$

חלק את ‎\frac{9}{11}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{9}{22}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{9}{22} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{4}{11}+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{9}{22} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{4}{11}+\frac{81}{484}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{11} ל- ‎\frac{81}{484} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{95}{484}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{95}{484}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{95}{484}}$$

פשט.

$$x+\frac{9}{22}=\frac{\sqrt{95}i}{22} x+\frac{9}{22}=-\frac{\sqrt{95}i}{22}$$

החסר ‎\frac{9}{22} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$